从考研数学的概率论题目看待排队买彩票的问题

    考研数学的概率论部分向来被看作是考研中的一大障碍，如何去掌握它的解题技巧一直是广大考研学子关注的一个问题。其实概率是有着重要应用价值的一门学科，今天我们通过一道题目来谈一谈解题技巧和在彩票问题中的应用。

    题目：100个球，40个白球，60个红球，先后不放回地取20次，问第20次时取到白球的概率？

    按照正常的解题思路，先考虑简单的情况：计算第2次时取到白球的概率，

设 ，根据全概公式，

    然后我们考虑第三次取到白球的概率，前两次有四种情况

“ ”，比较复杂，如果推广到第20次，其复杂性是可以想象的。

    因此我们需要考虑另外一种做法。

    考虑第一次取球，白球概率为40％，红球的概率为60％，我们可以想象成取出的球是粉红色的球，即“白球占40％，红球占60％”。这样相当于从100个球中按比例取出了一个球，那么剩下的99个球中白球与红球的比例仍然是40：60。此时再取一个球，仍然是一个“白球占40％，红球占60％”的粉红色的球，当然白球的概率为40％。这就意味着从100个球中取了一个等比例的球，相当于没有影响剩下99个球中白球和红球的比例，因此取第二次时白球的概率仍然是40％，这个结果与前面全概公式的计算相同，但方法简单得多。同理我们可以得到：取到第20次时白球的概率仍为40％。

    这个做法的关键在于理解按比例摸球，这种理解在概率论部分的解题起到很大的作用，它可以在未知第一阶段的具体取球的情况下，只考虑第二阶段，从而简化全概公式。

    我们把这个模型应用到彩票问题上。例如有100万张彩票，唯一的奖项是一个500万大奖。第一个排队买到彩票的人中奖的概率与最后一个人没有任何区别，因为前面买到彩票的人只不过按比例拿走彩票，并不影响后面购买者中奖的概率。可能有人会想“第一张彩票万一就是中奖的，买了岂不赚了？”但是这是条件概率，条件是“第一张彩票中奖”，这是一个唯心主义的想法，最后买票的人可能会说“万一前面的人都没有中奖，当然我会中奖”。显然条件概率与我们所说的情况不同。我们又称前面的摸球模型为“彩票模型”。

    这就是概率论在日常生活中的一个应用，它可以使我们的行为更加地理性。(允杰)